无穷小（Infinitesimal)的数学定义
毫无疑问，莱布尼兹是无穷小（理想数）的发明者。如果莱布尼兹能够穿越时空来到现在，当他看到人们把以零为极限的函数叫做“无穷小”时，一定会笑掉大牙。莱布尼兹为什么会笑掉大牙？当年莱布尼兹发明的无穷小的现代数学定义如下：
I.THE EXTENSION PRINCIPLE
(a)The real numbers form a subset of the hyperreal numbers, and theorder relation x < y for the real numbers is a subset of the orderrelation for the hyperreal numbers.
(b)There is a hyperreal number that is greater than zero but less thanevery positive real number.
(c)For every real function f of one or more variables we are given acorresponding hyperreal function f* of the same number of variables.f* is called the natural extension of f .
Part(a) of the Extension Principle says that the real line is a part ofthe hyperreal line. To explain part (b) of the Extension Principle,we give a careful definition of an infinitesimal.
DEFINITION
Ahyperreal number b is said to be:
positiveinfinitesimal if b is positive but less than every positive realnumber.
negativeinfinitesimal if b is negative but greater than every negativereal number.
Infinitesimal if b is either positive infinitesimal, negative infinitesimal. orzero.
由以上所述，我们可以看出，无穷小只有在超实数系*R里面才有严格定义，只不过无穷小相对于传统实数而言更为接近零点而已。如果两个超实数相差一个无穷小，则称两者“无限接近”。......看到超实数，莱布尼兹终于微笑了，因为，这就是莱布尼兹所梦寐以求的东西。我们要为莱布尼兹的无穷小理论进行辩护，责无旁贷也。
无穷小是否存在？这是另一个问题。如果无穷小存在，那么，它就应当是这个样子。在1948年，28岁的数学家EdwinHewitt(1920-1999)发明了超实数（Hyperreals），至今已经有60多年了。但是，我们国内的大学生们还不知道超实数是什么，那么，怎么做好”中国梦“呢？我们要做一个“超级梦”(Hyperdream)！
说明：以上英文原文摘自J.Keisler《基础微积分》的原著。希望大家认真研读，透彻领会其中的基本思想。
补充：综合编程 , 其他综合 ,
