编程之美读书笔记 -最大公约数


		问题：
 
求两个数的最大公约数
 
解法一：
 
欧几里得辗转相除法：
 
f(x,y) = GCD(x,y), 取k = x / y, b = x % y,则：x = k*y + b;  www.zzzyk.com
如果一个数能整除x,y,则它也能整除b,y； 而且能整除b,y的数必能整除x,y，即x,y和b,y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，即f(x,y) = f(y ,x % y) (x>=y>0)
 
 
 
 
例如，计算a = 1071和b = 462的最大公约数的过程如下：从1071中不断减去462直到小于462（可以减2次，即商q0 = 2），余数是147：
1071 = 2 × 462 + 147.
然后从462中不断减去147直到小于147（可以减3次，即q1 = 3），余数是21：
462 = 3 × 147 + 21.
再从147中不断减去21直到小于21（可以减7次，即q2 = 7），没有余数：
147 = 7 × 21 + 0.
此时，余数是0，所以1071和462的最大公约数是21
 
 
递归算法：
 
 
[cpp] 
#include<stdio.h>    
  
//递归形式    
int GCD(int a,int b)  
{   
    if(b == 0){  
        return a;  
    }  
    else{  
        //a,b和b,a%b有相同的最大公约数   
        return GCD(b,a%b);  
    }  
  
}   
  
int main(){  
    int a,b;  
    scanf("%d %d",&a,&b);  
    printf("%d\n",GCD(a,b));  
}  
 
#include<stdio.h> 
 
//递归形式 
int GCD(int a,int b)
{ 
if(b == 0){
return a;
}
else{
//a,b和b,a%b有相同的最大公约数
return GCD(b,a%b);
}
 
} 
 
int main(){
int a,b;
scanf("%d %d",&a,&b);
printf("%d\n",GCD(a,b));
}
例如GCD(1071, 462)的计算过程是：
 
函数的第一次调用计算GCD(462, 1071 mod 462) = GCD(462, 147)；
 
下一次调用计算           GCD(147, 462 mod 147) = GCD(147, 21)，
 
在接下来是                   GCD(21, 147 mod 21) = GCD(21, 0) = 21。
 
 
非递归算法： 
 
[cpp] 
#include<stdio.h>    
  
//非递归形式    
int GCD(int a,int b)  
{   
    int temp = a;  
    while(b){  
        a = b;  
        b = temp % b;  
    }  
    return a;  
}   
  
int main(){  
    int a,b;  
    scanf("%d %d",&a,&b);  
    printf("%d\n",GCD(a,b));  
}  
 
#include<stdio.h> 
 
//非递归形式 
int GCD(int a,int b)
{ 
int temp = a;
while(b){
a = b;
b = temp % b;
}
return a;
} 
 
int main(){
int a,b;
scanf("%d %d",&a,&b);
printf("%d\n",GCD(a,b));
}
解法二： 
 
在解法一中我们用到了取模运算。在大整数中取模运算（涉及到除法运算）是非常高贵的开销。
 
我们想想避免用取模运算。
 
类似前面的分析，一个数能整除x,y则必能同时整除x - y，y。能同时整除x - y,y 则必能同时整除x，y。即x,y的公约数和x-y,y的公约数是一样的，其最大公约数也是一样的。
 
 
[cpp] 
#include<stdio.h>    
  
int GCD(int a,int b)  
{   
    //如果a < b   
    if(a < b){  
        return GCD(b,a);  
    }  
    if(b == 0){  
        return a;  
    }  
    else{  
        return GCD(a - b,b);  
    }  
}   
  
int main(){  
    int a,b;  
    scanf("%d %d",&a,&b);  
    printf("%d\n",GCD(a,b));  
}  
 
#include<stdio.h> 
 
int GCD(int a,int b)
{ 
//如果a < b
if(a < b){
return GCD(b,a);
}
if(b == 0){
return a;
}
else{
return GCD(a - b,b);
}
} 
 
int main(){
int a,b;
scanf("%d %d",&a,&b);
printf("%d\n",GCD(a,b));
}此解法用减法而不是除法，这样迭代的次数比除法要多，当遇到f(10000000,1)的情况时这不是一个好方法。
 
 
 
 
解法三：
 
分析：
 
对于x,y,如果y = k * y1,x = k * x1,则f(y,x) = K*f(x1,y1)；
 
如果x = p * x1, 假设p是素数，且 y % p != 0 ,即y不能被p整除，则f(x,y) = f(x1,y).
 
可以利用上面两点进行改进。因为2是素数，同时对于二进制表示的大整数而言可以很容易的将除以2和乘以2的算法转换为移位运算，从而避免大整数除法。
 
可以充分利用2进行分析：
若x,y都为偶数（2肯定是公约数），则f(x,y) = 2*f(x / 2,y / 2) = 2*f(x>>1,y>>1);
若x为偶数，y为奇数(2肯定不是公约数),则f(x,y) = f(x / 2, y / 2) = f(x>>1, y)
若x为奇数，y为偶数2肯定不是公约数)，则f(x,y)= f(x, y / 2) = f(x, y>>1)
若x,y都为奇数（2肯定不是公约数），则f(x,y) = f(y, x-y)    (x-y肯定为偶数) = f（y, (x-y)/2）
 
 
 
 
[cpp] 
#include<stdio.h>    
//判断奇偶性   
int IsEvenOdd(int n){  
    if(n % 2 == 0){  
        return 1;  
    }  
    else{  
        return 0;  
    }  
}  
  
int GCD(int a,int b)  
{   
    //如果a < b   
    if(a < b){  
        return GCD(b,a);  
    }  
    if(b == 0){  
        return a;  
    }  
    //若x,y都为偶数   
补充：软件开发 , C++ ,