编程之美1.12——“拈”游戏分析

问题：
有N块石头和两个玩家A和B，玩家A先将石头随机分成若干堆，然后按照BABA...的顺序不断轮流取石头，能将剩下的石头一次取光的玩家获胜，每次取石头时，每个玩家只能从若干堆石头中任选一堆，取这一堆石头中任意数目（大于0）个石头。
请问：
玩家A要怎样分配和取石头才能保证自己有把握取胜？

如果石头的个数N为偶数，A只要将其分为相同的两份，就一定能取胜。
初始：XOR(M1, M1) == 0
玩家B：XOR(M1, M2) != 0 （其中一堆的个数减少到M2）
玩家A：XOR(M2, M2) == 0 （玩家A将另一堆的个数也减少到M2）
结果：XOR(M2, M2) == 0 （直到结束状态(0, 0)）

如果石头的个数N为奇数，B有必胜的方法。
初始：XOR(M1, M2, ... , Mn) != 0
玩家B：XOR(M1, ... , Mi', ... , Mn) == 0 （其中一堆Mi的个数减少到Mi'）
玩家A：XOR(M1, ... , Mj', ... , Mn) != 0
玩家B：XOR(M1, ... , Mi', ... , Mn) == 0 （其中一堆Mi的个数减少到Mi'）
结果：XOR(M1, ... , Mj' , ... , Mn) == 0 （直到结束状态(0,0)）

这里就有个问题：已知XOR(M1, M2, ... , Mn) != 0，玩家B该改变那个Mi以使得XOR(M1, ... , Mi', ... , Mn) == 0呢？
对于这个问题的答案，书中并未准确的结论。

经过本人的分析，所得到的结论如下：
设k=XOR(M1, M2, ... , Mn)，已知k!=0，取一个数Mi，其二进制表达中在k的最高二进制位上的数为1，且这个
数Mi肯定存在（k的这个最高位在异或运算中肯定来自某一个Mi）。在程序中满足(Mi&k) > (k>>1)条件的数即为Mi。

简单证明：即假设k的二进制表达是1xx，那么Mi的二进制表达是x...x1xx，这样玩家B将该Mi改成Xi'=XOR(Mi, k)后，
Mi'的二进制表达是x...x0yy，肯定小于Mi，并且有XOR(M1, ... , Mi', ... , Mn) == 0。

下面的程序模拟了石头个数N为奇数的情况，其中玩家B用我 I 表示，玩家A用She表示。
[cpp]
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;

int A[10];

int main()
{
    int n = 25; // 石头总数（可变）
    int m = 5; // 划分的堆数（可变）
    int i, k, s;
    int sum=0;
    srand(time(0));
    // 模拟m堆的石头个数，A[i]表示第i堆石头的个数
    for (i=1; i<m; i++)
    {
        A[i] = rand()%(5*i-sum);
        sum += A[i];
    }   A[m] = n - sum;
    while (true)
    {
        // 输出每个堆的石头个数
        for (i=1; i<=m; i++)
            cout << A[i] << " ";
        cout << endl;

        int xor = 0;
        for (i=1; i<=m; i++)
            xor = xor^A[i];
        for (i=1; i<=m; i++)
            // 二进制表达中在k的最高二进制位上的数为1
            if ((A[i]&xor) > (xor>>1)) break;
        printf("I: get %d stones from %d heap\n", A[i]-(A[i]^xor), i);
        // 将Mi改为Mi'
        A[i] = A[i]^xor;
        // 对方随机取数据
        for (i=1; i<=m && A[i]==0; i++);
        if (i>m) break;
        do
        {
            k = rand()%m + 1;
        }while (A[k] == 0);
        s = rand()%A[k] + 1;
        printf("She: get %d stones from %d heap\n", s, k);
        A[k] = A[k] - s;
    }
    return 0;
}

作者：linyunzju

补充：软件开发 , C++ ,